Parabolic-hyperbolic Equation Research Articles

Tricomi problem for mixed parabolic-hyperbolic equation with dynamic-type boundary condition

In this paper, we study an analogue of Tricomi problem for a parabolichyperbolic equation of the first type. To solve the problem for the heat equation, we use properties of the spectral problem with a spectral parameter in the boundary conditions. We show the basicity of the spectral problem with the spectral parameter in the boundary conditions. The conditions for the correctness of the formulated Tricomi problem are found.

Stable difference schemes for hyperbolic–parabolic equations with unknown parameter

In the present paper, we study the first and second order of accuracy difference schemes for the approximate solution of the inverse problem for hyperbolic–parabolic equations with unknown time-independent source term. The unique solvability of constructed difference schemes and the stability estimates for their solutions are obtained. The proofs are based on the spectral representation of the self-adjoint positive definite operator in a Hilbert space.

Boundary Value Problems for a Parabolic-Hyperbolic Equation with Nonlinear Loaded Terms

Boundary Value Problems for a Parabolic-Hyperbolic Equation with Nonlinear Loaded Terms

On a Problem for a Parabolic-Hyperbolic Equation with a Nonlinear Loaded Part

On a Problem for a Parabolic-Hyperbolic Equation with a Nonlinear Loaded Part

Boundary Value Problems for a Parabolic-Hyperbolic Equation with a Superposition of Operators of the First and Second Orders

Boundary Value Problems for a Parabolic-Hyperbolic Equation with a Superposition of Operators of the First and Second Orders

Invariant measures for stochastic parabolic–hyperbolic equations in the space of almost periodic functions: Lipschitz flux case

We study the well-posedness and the long-time behavior of almost periodic solutions to stochastic degenerate parabolic–hyperbolic equations in any space dimension, under the assumption of Lipschitz continuity of the flux and viscosity functions and a non-degeneracy condition. We show the existence and uniqueness of an invariant measure in a separable subspace of the space of Besicovitch almost periodic functions.

A boundary value problem for a class of anisotropic stochastic degenerate parabolic-hyperbolic equations

We establish the well-posedness of an initial-boundary value problem of mixed type for a stochastic nonlinear parabolic-hyperbolic equation on a space domain O=O′×O″ where a Neumann boundary condition is imposed on ∂O′×O″, the hyperbolic boundary, and a Dirichlet condition is imposed on O′×∂O″, the parabolic boundary. Among other points to be highlighted in our analysis of this problem we mention the new strong trace theorem for the special class of stochastic nonlinear parabolic-hyperbolic equations studied here, which is decisive for the uniqueness of the kinetic solution, and the new averaging lemma for the referred class of equations which is a vital part of the proof of the strong trace property. We also provide a detailed analysis of the approximate nondegenerate problems, which is also made here for the first time, as far as the authors know, whose solutions we prove to converge to the solution of our initial-boundary value problem.

Tricomi Problem for Mixed Parabolic–Hyperbolic Equation with Higher Order Boundary Condition

Tricomi Problem for Mixed Parabolic–Hyperbolic Equation with Higher Order Boundary Condition

Optimal Distributed Globally Bounded Control for Parabolic–Hyperbolic Equations with Nonlocal Boundary Conditions and a Linear Quality Criterion

Optimal Distributed Globally Bounded Control for Parabolic–Hyperbolic Equations with Nonlocal Boundary Conditions and a Linear Quality Criterion

The Problem for a Mixed Equation with Fractional Power of the Bessel Operator

В последнее время особый интерес представляют уравнения с частными производными, содержащими дифференциальный оператор дробного порядка. Подобные уравнения и задачи для них находят применение в теории вязкой упругости, электрохимии, теории управления, моделировании эпидемий и пандемий и в других различных областях. Настоящая работа посвящена решению дифференциальных уравнений, содержащих оператор Бесселя дробной степени. В статье рассматривается прямое и обратное преобразование Мейера, модифицированное для удобства работы с оператором Бесселя дробной степени. Для рассматриваемого преобразования Мейера получена свертка. Используя преобразования Лапласа и Пуассона получены факторизации прямого и обратного преобразований Мейера. С использованием рассмотренного модифицированного преобразования Мейера находится решение обыкновенного дифференциального уравнения с оператором Бесселя дробной степени. Рассматривается нелокальная краевая задача для смешанного параболо-гиперболческого уравнения, содержащего дробной степени оператор Бесселя. Доказывается, что, при выполнении определенных условий гладкости входных функций задачи и выполнения условия сопряжения на линии раздела областей гиперболичности и параболичности, регулярное решение нелокальной краевой задачи для смешанного параболо-гиперболического уравнения с оператором Бесселя дробной степени существует и единственно. Recently, of particular interest are partial differential equations containing a fractional order differential operator. Similar equations and problems for them find application in the theory of viscous elasticity, electrochemistry, control theory, modeling of epidemics and pandemics, and in various other areas. The present work is devoted to the solution of differential equations containing the Bessel operator of fractional degree. The article discusses the direct and inverse Meyer transforms, modified for the convenience of working with the Bessel operator of a fractional degree. For the considered Meyer transformation, a convolution is obtained. Using the Laplace and Poisson transformations, factorizations of the direct and inverse Meyer transformations are obtained. Using the considered modified Meyer transform, we find a solution to an ordinary differential equation with a Bessel operator of fractional degree. A nonlocal boundary value problem for a mixed parabolic-hyperbolic equation containing a fractional degree Bessel operator is considered. It is proved that, under certain conditions of smoothness of the input functions of the problem and the condition of conjugation on the dividing line of the regions of hyperbolicity and parabolicity, a regular solution of a nonlocal boundary value problem for a mixed parabolic-hyperbolic equation with a Bessel operator of fractional degree exists and is unique.

On the Adjoint Problem in a Domain with Deviation Out from the Characteristic for the Mixed Parabolic-Hyperbolic Equation with the Fractional Order Operator

В настоящей статье доказана классическая, сильная разрешимость и вольтерровость сопряженной задачи c отходом от характеристики для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа с оператором дробного порядка в смысле Герасимова-Капуто. Целью исследования является решение сопряженной задачи для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа дробного порядка. Учитывая, свойств операторов дробного порядка найдены сопряженный оператор и применены постановки сопряженной задачи. Для исследования поставленной задачи в параболической частью смешанной области решается первой краевой задачи для уравнения параболического типа дробного порядка в смысле Герасимова-Капуто. Используя, свойств функции Райта получено функциональное соотношение на линии перехода. Точно также решая, задачи Коши гиперболической частью смешанной области находим функциональное соотношение. Следовательно, поставленная задача эквивалентным образом сводится к интегральному уравнению Вольтерра второго рода со слабой особенностью. Согласно теории интегральных уравнений Вольтерра второго рода доказывается однозначной разрешимость полученного уравнения. Кроме того, используя методы операторов интегро — дифференцирования дробного порядка, теории специальных функций, априорных оценок, теория интегральных уравнений доказываются теоремы единственности, существования и вольтерровость сопряженной задачи в области с отходом от характеристики для уравнения смешанного типа дробного порядка. Полученные результаты новые и отличаются от результатов М.А. Садыбекова и А.С. Бердышева. In this article, it was proved the classical, strong solvability and Volterra property of the adjoint problem with departure from the characteristic for an equation of mixed parabolic-hyperbolic type with a fractional order operator in the sense of Gerasimov-Caputo. The aim of the research is to solve the conjugate problem for the equation of a mixed parabolic-hyperbolic type of fractional order. Taking into account the properties of fractional order operators, the adjoint operator is found and the statements of the adjoint problem are applied. To study the formulated problem in the parabolic part of the mixed domain, the first boundary value problem for a parabolic type equation of fractional order in the sense of Gerasimov-Caputo is solved. Using the properties of the Wright function, a functional relation is obtained on the transition line. In the same way, solving the Cauchy problem with the hyperbolic part of the mixed domain, we find a functional relation. Consequently, the problem posed reduces in an equivalent way to a Volterra integral equation of the second kind with a weak singularity. According to the theory of Volterra integral equations of the second kind, the unique solvability of the resulting equation is proved. In addition, using the methods of integro-differentiation operators of fractional order, the theory of special functions, a priori estimates, the theory of integral equations, uniqueness, existence and Volterra theorems for the adjoint problem in a domain with deviation out of the characteristic for a mixed-type equation of fractional order are proved. The results obtained are new and differ from the results of M. A. Sadybekov and A. S. Berdyshev.

On a nonlocal boundary value problem of periodic type for the three-dimensional mixed-type equations of the second kind in an infinite parallelepiped

Как известно, в работе А.В. Бицадзе показано, что задача Дирихле для уравнения смешанного типа некорректна. Естественно возникает вопрос: нельзя ли заменить условия задачи Дирихле другими условиями, охватывающими всю границу, которые обеспечивают корректность задачи? Впервые такие краевые задачи (нелокальные краевые задачи) для уравнения смешанного типа были предложены и изучены в работах Ф.И. Франкля при решении газодинамической задачи об обтекании профилей потоком дозвуковой скорости со сверхзвуковой зоной, оканчивающейся прямым скачком уплотнения. Близкие по постановке задачи для уравнения смешанного типа второго рода второго порядка, имеются в работах А.Н. Терехова, С.Н. Глазатова, М.Г. Каратопраклиевой и С.З. Джамалова. В этих работах для уравнения смешанного типа второго рода второго порядка изучены нелокальные краевые задачи в ограниченных областях. Такие задачи для уравнения смешанного типа первого рода в трехмерном случае (в частости, для уравнения Трикоми) в неограниченных областях изучены в работах С.З. Джамалова и Х. Туракулова. Для уравнений смешанного типа второго рода в неограниченных областях нелокальные краевые задачи в многомерном случае практически не исследованы. С этой целью в данной работе в неограниченном параллелепипеде формулируется и изучается нелокальная краевая задача периодического типа для трехмерного уравнения смешанного типа второго рода второго порядка. Для доказательства единственности обобщённого решения используется метод интегралов энергии. Для доказательства существования обобщённого решения сначала используется преобразование Фурье и в результате получается новая задача на плоскости, а для разрешимости этой задачи используется методы «ε-регуляризации»и априорных оценок. Используя эти методы, и равенство Парсеваля, докажем единственность, существование и гладкость обобщённого решения одной нелокальной краевой задачи периодического типа для трехмерного уравнения смешанного типа второго рода второго порядка. As is known, A.V. Bitsadze in his studies pointed out that the Dirichlet problem for a mixed-type equation, in particular for a degenerate hyperbolic-parabolic equation, is ill-posed. The question naturally arises: is it possible to replace the conditions of the Dirichlet problem with other conditions covering the entire boundary, which will ensure the well-posedness of the problem? For the first time, such boundary value problems (nonlocal boundary value problems) for a mixed-type equation were proposed and studied in the works of F.I. Frankl when solving the gas-dynamic problem of subsonic flow around airfoils with a supersonic zone ending in a direct shock wave. Problems close in formulation to a mixed-type equation of the second order were considered in the studies by A.N. Terekhov, S.N. Glazatov, M.G. Karatopraklieva and S.Z. Dzhamalov. In these papers, nonlocal boundary value problems in bounded domains are studied for a mixed-type equation of the second kind of the second order. Such problems for a mixed-type equation of the first kind in the three-dimensional case (in particular, for the Tricomi equation) in unbounded domains are studied in the works of S.Z. Dzhamalov and H. Turakulov. For mixed-type equations of the second kind in unbounded domains, nonlocal boundary value problems in the multidimensional case are practically not studied. In this article, nonlocal boundary value problem of periodic type for a mixed-type equation of the second kind of the second order, is formulated and studied in an unbounded parallelepiped. To prove the uniqueness of the generalized solution, the method of energy integrals is used. To prove the existence of a generalized solution, the Fourier transforms is used and as a result, a new problem is obtained on the plane. And for the solvability of this problem, the methods of “ε-regularization”and a priori estimates are used. The uniqueness, existence, and smoothness of a generalized solution of a nonlocal boundary value problem of periodic type for a three-dimensional mixed-type equation of the second kind of the second order are proved using above-mentioned methods and Parseval equality.

Three-Dimensional Initial-Boundary Value Problem for a Parabolic-Hyperbolic Equation with a Degenerate Parabolic Part

Three-Dimensional Initial-Boundary Value Problem for a Parabolic-Hyperbolic Equation with a Degenerate Parabolic Part

Inverse Problem for a Third-Order Parabolic-Hyperbolic Equation Involves Fractional Derivatives

Inverse Problem for a Third-Order Parabolic-Hyperbolic Equation Involves Fractional Derivatives

A Nonlocal Problem with an Integral Matching Condition for a Loaded Parabolic-Hyperbolic Equation with a Fractional Caputo Derivative

A Nonlocal Problem with an Integral Matching Condition for a Loaded Parabolic-Hyperbolic Equation with a Fractional Caputo Derivative

Dirichlet’s problem for a third-order parabolic hyperbolic type equation of the second kind

Equations of mixed type, the degeneracy line of which is the envelope of a family of characteristics, therefore, is itself also a characteristic, in the literature it is customary to call equations of mixed type of the second kind, which causes additional difficulties in the study of boundary value problems for equations of the second kind. In the present work, a boundary value problem for a homogeneous equation of parabolic-hyperbolic type of the third order of the second kind is investigated. Necessary and sufficient conditions for the existence and uniqueness of a generalized solution of the problem are found. In some special cases, the representation of the solution of the problem under study is written out explicitly.

Entropy Formulation for Triply Nonlinear Degenerate Elliptic-Parabolic-Hyperbolic Equation with Zero-Flux Boundary Condition

In this note, we investigated existence and uniqueness of entropy solution for triply nonlinear degenerate parabolic problem with zero-flux boundary condition. Accordingly to the case of doubly nonlinear degenerate parabolic hyperbolic equation, we propose a generalization of entropy formulation and prove existence and uniqueness result without any structure condition.

Direct and inverse problems for a parabolic-hyperbolic equation involving Riemann–Liouville derivatives

Direct and inverse problems for a parabolic-hyperbolic equation involving Riemann–Liouville derivatives

Compact difference schemes for the multidimensional hyperbolic-parabolic equation

In this paper, we consider the stable compact difference schemes of 4 + 4 approximation order for the multidimensional hyperbolic-parabolic equation with constant coefficients. A priori estimates for the stability and convergence of the difference solution in strong mesh norms are obtained. The theoretical results are confirmed by test numerical calculations.

Determining the Coefficient of a Mixed Parabolic-Hyperbolic Equation with Noncharacteristic Type Change Line

Determining the Coefficient of a Mixed Parabolic-Hyperbolic Equation with Noncharacteristic Type Change Line